تعریف زمین میرزا جعفر چیست و تناسبات ایرانی او چه‌طور کار می‌کند؟

تعریف ۱

زمین هر عدد مانند ب، مستطیلی است که زاویهٔ بین طول و قطر آن ب بار در دایره بگنجد.

مثلاً زمین ۱۲ به مستطیلی گفته می‌شود که زاویهٔ بین طول و قطر آن ۱۲ بار در دایره بگنجد؛ یا به عبارت دیگر، زاویه‌اش یک دوازدهم یک دور کامل یعنی ۳۰ درجه باشد.

به زبان ریاضی:

برای مثال:

بعضی زمین‌های میرزا جعفر را در فایل پی‌دی‌اف ضمیمهٔ «زمین‌های میرزا جعفر» ببینید و با آن‌ها آشنا شوید.

برای نامیدن زمین‌های کمتر از هشت، همان تناسبات زمین‌های بیشتر از عدد ۸ را به کار می‌بریم؛ منتها با افزودن یک علامت معکوس کنار عدد نشان می‌دهیم که مستطیل خوابیده است نه ایستاده.

البته این قرارداد ماست و استاد جعفرخان آن را به کار نبرده است. این زمین‌ها در کنار هم به صورت ایستاده و خوابیده چنین تناسبی خواهند داشت.

با تعریف ۱ می‌توان به کمک نقاله زمین‌های دلخواه را رسم کرد. برای این کار به شیوهٔ زیر عمل می‌کنیم:

تعریف دیگری که با تعریف اول هم‌ارز اما از لحاظ هندسی گویاتر است و بر پایهٔ چندضلعی‌ها قرار دارد چنین است:

تعریف ۲: زمین هر عدد مانند ب، مستطیلی است که زاویهٔ بین طول و قطر آن برابر با زاویهٔ مرکزی یک ب‌ضلعی منتظم باشد.

یا به زبان ریاضی:

زاویهٔ مرکزی یک چندضلعی منتظم به کدام زاویه گفته می‌شود؟

زاویهٔ مرکزی یک چندضلعی منتظم، زاویه‌ای است که میان مرکز دایرهٔ محیطی آن چندضلعی و پاره‌خط‌هایی که این مرکز را به دو رأس مجاور وصل کنند تشکیل می‌شود و مقدار آن برابر است با ۳۶۰ درجه تقسیم بر تعداد اضلاع آن چندضلعی منتظم.

مثلاً زمین ۱۲ به مستطیلی گفته می‌شود که زاویهٔ بین طول و قطر آن برابر با زاویهٔ مرکزی یک ۱۲ضلعی منتظم باشد؛ که همان ۳۰ درجه است.

مرکز یک چندضلعی منتظم را چه‌طور به دست می‌آوریم؟

در چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زوج: کافی است دو رأس یک ضلع را به صورت قطری به دو رأس ضلع مقابلشان وصل کنیم. تقاطع این دو خط مرکز دایرهٔ محیطی را به دست می‌دهد.

در چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع فرد: از دو رأس مجاور عمودهایی به اضلاع روبه‌روی آن‌ها فرود می‌آوریم. تقاطع آن‌ها مرکز دایرهٔ محیطی را به دست می‌دهد.

با این شیوه نیز می‌توان زمین‌های مختلف را در نرم‌افزارهای کامپیوتری به‌سادگی ترسیم کرد، البته باید در نظر داشت که این کار در گذشته آسان نبوده است.

و به صورت دقیق ممکن نبوده است. چون در هندسهٔ خط‌کش و پرگار برای ترسیم بسیاری از چندضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع فرد راه‌حل دقیق وجود ندارد.

برای ترسیم یک زمین از طریق چندضلعی منتظم هم‌نام خود به طریق زیر عمل می‌کنیم:

در واقع می‌توان هر زمین را در قالب یک مستطیل در داخل یک چندضلعی منتظم بدین صورت تصور کرد:

هنگامی که زمین در دایرهٔ محیطی چندضلعی منتظم هم‌نام خود محاط شود دست‌کم دو رأس آن بر دو رأس چندضلعی منطبق می‌گردد.

یکی از قابلیت‌ها و ویژگی‌های این دستگاه تناسبات همین است که بر پایهٔ زاویه تعریف شده است. این نکته قابلیت و کارآمدی ویژه‌ای به آن می‌بخشد که در آینده بهتر خواهیم دید. اما ما تناسبات را غالباً بر اساس نسبت‌های طولی و در قالب یک ضریب ادراک می‌کنیم، نه یک زاویه.

معنا و مختصات نسبت‌های طولی و سطحی و زاویه‌ای را در آینده مفصلاً توضیح می‌دهیم، اما در اینجا این را می‌گوییم که اگر به جای ترسیم، بخواهیم طول و عرض زمین‌ها را محاسبه کنیم نیاز خواهیم داشت پای مفهوم سایه یا ظلّ (به فرانسوی: تانژانت) را به میان بکشیم. در واقع، اگر بخواهیم زمین را نه بر اساس زاویهٔ بین طول و قطر آن، بلکه بر اساس تناسب میان طول و عرض زمین تعریف کنیم، به این تعریف می‌رسیم:

تعریف ۳: زمین هر عدد مانند ب، مستطیلی است که نسبت میان عرض و طول آن برابر با سایه (=ظلّ/تانژانت) زاویهٔ مرکزی یک ب‌ضلعی منتظم باشد.

به زبان ریاضی:

که مطابق با تعریف ۱ ما را به تعریف چهارم خواهد رساند:

تعریف ۴: زمین هر عدد مانند ب، مستطیلی است که نسبت بین عرض و طول آن برابر با سایهٔ زاویه‌ای باشد که ب بار در دایره بگنجد.

یا به زبان ریاضی:

گفتنی است که میرزا جعفرخان هیچ‌کدام از این چهار تعریف را به صراحت در کتاب نیاورده و صرفاً شیوه‌ای تقریبی برای محاسبهٔ زمین ارائه کرده و شیوهٔ دقیق آن را بیان نکرده است و ما این تعریف را از روی قرائتی که بعداً توضیح می‌دهیم استنباط کرده‌ایم.

با حل این معادله بر حسب مقدار ب، به معادلهٔ دیگری می‌رسیم که با آن می‌توانیم زمین یک مستطیل موجود را با در دست داشتن طول و عرض آن محاسبه کنیم:

کمان سایه همان آرک‌تانژانت (Arctg یا Arctan یا tg^−۱ یا در اکسل atan) است؛ یعنی زاویه‌ای که تانژانت معینی را تولید می‌کند. این تابع در خیلی از ماشین‌حساب‌های معمولی هم وجود دارد و کافی است جای آن را پیدا کنید.

این معادله برای محاسبهٔ زمین کاغذ A4 در یک ماشین‌حساب چنین صورت پیدا می‌کند:

اگر تابع tan^−۱ را در ماشین‌حساب پیدا نکردید، معمولاً با گزینۀ 2nd یا با بردن ماشین‌حساب به حالت Scientific می‌توانید تابع‌های ثانویه را فعال کنید.

چون تناسبات زمین‌های میرزا جعفر ثابت‌اند، همیشه لازم نیست هر بار دوباره محاسبه کنیم. برای مقایسه و محاسبهٔ سریع‌تر، دو فایل ضمیمهٔ زیر را هم می‌توانید استفاده کنید: